C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.8.3 Números Primos.

Definição 1.14.

Diz-se que o inteiro n é um número primo, se n> 1 e os únicos divisores positivos de n são 1 e o próprio n.

Se n não é número primo então é chamado de número composto.

Exemplo 1.43.

São números primos:

2, 3, 7, 11 13, 17, 19

São números compostos:

4, 6, 8, 10, 16, 24

O número 1 não é primo; observe que não satisfaz a definição.

Propriedade 1.18.

Todo número inteiro n> 1 é número primo ou produto de números primos.

Cálculo Diferencial em R 43

Propriedade 1.19.

Euclides.

Existe uma infinidade de números primos.

Propriedade 1.20.

Teorema fundamental da aritmética.

Todo inteiro n> 1 podemos expressar como produto de fatores primos de modo único.

Exemplo 1.44.

Mostre que .

n .

N a expressão n3 - n é divisível por (seis).

Solução.

Temos que P (n):

n3 - n P (1) :

13 - 1=0 é divisível por 6.

Suponha que P (h):

h3 - h seja divisível por 6 sendo h .

N.

Para n = h +1 temos P (h +1) :

(h + 1)3 - (h +1) = (h + 1)[(h + 1)2 - 1] = h3 - h +3h(h + 1) (1.10)

Observe que 3h(h + 1) é divisível por 6.

Com efeito, se h =1 temos que 3(1)(2) é divisível por 6.

Suponha 3h(h + 1) é divisível por 6 .

h .

N.

Logo para h +1 segue que 3(h + 1)(h +2) = 3h(h + 1) + 6 sendo divisível por 6.

Então em

(1.10) da hipótese auxiliar para P (n) concluímos que .

n .

N a expressão n3 - n é divisível por 6 (seis).

.

Exemplo 1.45.

Mostre que, para todo número real (1 + x)n
¸¡1 e para qualquer natural n .

N então tem-se a desigualdade (1 + x)n = 1+ nx.

Solução.

Seja S o conjunto de números naturais para os quais (1 + x)n = 1+ nx.

1o 1 .

S pois, (1 + x)1 = 1 + (1)x.

2o Se h .

S, temos que (1+ x)h = 1+ hx, então (1+ x)h+1 = (1+ x)(1+ x)h = (1+ x)(1+ hx) = 1+ x + hx + hx2 = 1+(h + 1)x.

Logo, se h .

S então (h + 1) .

S.

Aplicando o princípio de indução matemática temos que S = N.

.

Propriedade 1.21.

Segundo princípio de indução matemática.

Se P (n) é uma proposição enunciada para n .

N tal que:

1o P (no) é verdadeiro.

2o P (h) é verdadeiro para h>no, implica P (h + 1) é verdadeiro.

Então P (n) é verdadeiro

.

n .

N, tal que n = no.

A demonstração é exercício para o leitor.

Christian Quintana Pinedo

Exemplo 1.46.

Mostre que se n é qualquer inteiro positivo, 1
(n 3 +2n) é um inteiro.

3

Solução.

Seja S o conjunto de números inteiros positivos tais que 1
(n 3 +2n) é um inteiro.

3
O número 1 .

S pois 1
(13 + 2(1)) = 1.

3
Suponha que h .

S; isto é 1
(h3 +2h) é um inteiro.

3

11 1

Então, [(h + 1)3 + 2(h + 1)] = [(h3 +3h2 +3h + 1) + (2h +2)]= (h3 +2h)+(h2 + h + 1)

3332

é um inteiro.

Assim h .

S implica (h + 1) .

S.

Logo S = N pelo princípio de indução.

.

Exemplo 1.47.

Mostre que 2n¡1(an + bn) > (a + b)n com a + b> 0;a 6
= b e n> 1;n .

N.

é verdadeira.

Demonstração.

Para n =2 a desigualdade é da forma:

2(a 2 + b2) > (a + b)2 (1.11)

Como a 6
> 0 que, somando (a+b)2 obtemos (a¡b)2(a+b)2

= b, temos a desigualdade (a¡b)2 > (a + b)2 isto implica a desigualdade (1.11); portanto a desigualdade é válida para n =2.

Suponhamos que a desigualdade seja válida para n = h; isto é:

2h¡1(a h + bh) > (a + b)h (1.12)

Mostraremos a desigualdade para n = h +1, isto é:

h+1 + bh+1) > (a + b)h+1

2h(a (1.13)

Multiplicando em (1.12) por (a+b) tem-se 2h¡1(ah +bh)(a+b) > (a+b)h(a+b)=(a+b)h+1 .

h+1 + bh+1) > 2h¡1(a

Falta mostrar que 2h(ah + bh)(a + b).

h+1 + bh+1) > 2h¡1(ah+1 + bh+1) > (a

Com efeito, 2h(ah + bh)(a + b) .

(ah + bh)(a + b) > h+1 + bh+1) > (a

(ah + bh)(a + b) .

(ah + bh)(a + b).

Esta última desigualdade podemos escrever sob a forma:

(a h - bh)(a - b) > 0 (1.14)

Suponha a>b, da hipótese a> 0 segue que a>| b j; portanto ah >bh, logo (1.14) sempre re verdadeira.

Para o caso a<b, então ah <bh e a desigualdade é o produto de números negativos, logo (1.14) sempre é verdadeira.

Assim se a desigualdade (1.14) vale para n = h, também vale para n = h +1.

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 1-5

1.

Caso existam, determine o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo para cada um dos seguintes conjuntos:

1.

B = { x .

Q=.

| x2 - 4 j< 16 } 2.

A = { x .

Z=.

| x2 - 9 | +3 | x - 4 j< 16 } 3.

C = { x .

N=.

| x2 - x +1 j< 3 } 4.

D = { x .

I=.

| 5x - 10 | + | x j= 1 } 5.

F = fx .

R=.

| x2 - 9 j= 16 - x } 6.

E = fx .

Z=.

| x2 - 16 | + | x - 4 j> 1 } 7.

H = f.

R=.

| x2 - 9 j< 16 - x } 8.

G = f.

R=.

| 9 - x2 j¡| x - 4 j< 1 } 2n - 1
2.

Mostre que 1 é o supremo do conjunto E = { x=.

x = ;n .

Ng.

2n

3.

Mostre que, se o produto de n números positivos é igual a 1 (um), a soma dos mesmos não é menor que n.

4.

Mostre que, se x1, x2, x3, x4, ¢¢· ;xn são números positivos, tem-se:

x1 x2 x3 x4 xn¡1 xn

++++ ¢¢· ++ = n x2 x3 x4 x5 xn x1

5.

Utilizando o princípio de indução matemática, mostre cada um dos seguintes enunciados:

n(n + 1)(2n + 1)

2

1.

12 +22 +32 + ¢¢· + n= ::.

.

n .

N;n =0 6
6 n2(n + 1)2

2.

13 +23 +33 + ¢¢· + n = .

n .

N;n 6
3 =0

4 n(3n - 1)

3.

1+4+7+ ¢¢· + (3n - 2) = .

n .

N;n =0 6
2 n(4n2 - 1)

4.

12 +32 +52 + ¢¢· + (2n - 1)2 = .

n .

N;n 6
=0

3 n(1 + 3n)

5.

2+5+8+ ¢¢· + (3n - 1) = .

n .

N;n = 1
2

6.

20 +21 +22 + ¢¢· +2n¡1 =2n - 1 .

n .

N, n> 1 n(n + 1)(n + 2) 7.

1 × 2+2 × 3+3 × 4+ ¢¢· + n(n +1) = .

n .

N;n =0 6
3 111 1 n

8.

+++ ¢¢· + = .

n .

N;n 6
=0

1 × 33 × 55 × 7 (2n - 1)(2n +1) 2n +1

6.

Utilizando o princípio de indução matemática, verifique a validade de cada um dos seguintes enunciados:

1.

(n2 + n) é divisível por 2, .

n .

N.

2.

(n3 +2n) é divisível por 3, .

n .

N.

Christian Quintana Pinedo

3.

n(n + 1)(n + 2) é divisível por 6.

.

n .

N;n 6
=0.

4.

(32n - 1) é divisível por 8, .

n .

N.

5.

(10n - 1) é divisível por 9, .

n .

N.

6.

2n = n2; .

n .

N;n = 4 7.

3n = (1 + 2n); .

n .

N.

8.

8 é um fator de 52n +7 .

n .

N;n = 1 7.

Determine a validade das seguintes proposições; justifique sua resposta.

n

1.

Se x, y .

R , com 0 <x<y , então x<yn .

n .

N;n 6
=0.

2.

4n - 1 é divisível por 3, .

n .

N.

3.

(8n - 5n) é divisível por 3, .

n .

N.

4.

(10n+1 + 10n + 1) é divisível por 3, .

n .

N.

5.

4n >n4; .

n .

N;n = 5.

22n+1 +32n+1 6.

é um número inteiro.

5

8.

Mostre que, para números reais x e y,e n .

N n = 2 são válidas as seguintes igualdades:

n¡1 + xn¡2n¡32n¡2 + yn¡1)

1.

xn - yn =(x - y)(x:y + x:y2 + ¢¢· + x:yn¡3 + x:y
n¡2n¡3 2n¡1)

2.

xn + yn =(x + y)(xn¡1 - x:y + x:y2 - ¢¢· +(¡1)n¡3x:yn¡3 - x:yn¡2 + y
somente para n ímpar.

9.

Mostre que, para quaisquer que sejam os números positivos diferentes a e b é válida a v

a + bn

desigualdade:

n+1 abn < .

n +1

n n

10.

Mostre a seguinte igualdade:

P(b + ai)= nb + .

ai i=1 i=1

11.

Se n .

N, o fatorial do número n é denotado n!, e definido do modo seguinte:

0!= 1, 1!= 1 e quando n> 1 define-se n!= 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ¢¢· (n - 1) × n ou n!= n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ¢¢· 4 × 3 × 2 × 1.

Mostre que:

1.

2n¡1 = n! .

n .

N.

2.

2n <n! <nn para .

n .

N n = 4.
·n +1
¸n

12.

Mostre a desigualdade:

n! < para n natural, com n = 2.

2

.

n .

n!

13.

Define-se o coeficiente binomial = se 0 = m = n.

Mostre que:

mm!(m - n)!

Ãn +1 !.

n !Ãn .

3.

=+ se 1 = m = n.

mm - 1 m

nÃn.

2.

(a + b)n = .

:an¡jbj .

a, b .

R.

j=0 j
Cálculo Diferencial em R

Miscelânea 1-1

111 69

1.

Sejam a, b e c raízes da equação x3¡3x2+9x¡2=0.

Mostre que o valor de ++ = 2 b22

ac4

n

2.

Determine a soma:

S =1+2x +3x2 +4x3 + ¢¢· +(n + 1)x..

3.

Determine a soma:

1 + 11 + 111 + 1111 + ¢¢· + 111111111 ¢¢· 1 , se o último somando é um número de n dígitos.

n

4.

Determine a soma:

S = nx +(n - 1)x2 +(n - 2)x3 + ¢¢· +2xn¡1 + x.

1357 2n - 1
5.

Determine a soma:

S =+ + + + ¢¢· +
222 23 24 2n 1

6.

Mostre que, se a + b =1, então:

a4 + b4 = 8

7.

Mostre que, se m .

N são válidas as seguintes desigualdades:

111 11

1.

+++ ¢¢· + > m +1 m +2 m +3 2m 2 111 1

2.

+++ ¢¢· + > 1 m +1 m +2 m +3 m + (2m + 1)

8.

Prove que, para qualquer inteiro positivo n é válido o seguinte:

1111 1 n - 1

++++ ¢¢· + <

22 32 42 522

nn

9.

Mostre que, se | x j< 1, para qualquer inteiro n = 2, então é válida a desigualdade:

(1 - x)n + (1 + x)n < 2n 10.

Mostre por indução sobre n, que:

n

1.

Sex = p + v q, onde p e q são racionais, e n .

N então x= a + b v q sendo a e b números racionais.

2.

Mostre que :(p ¡v q)n = a - b v q 11.

Mostre que, se os números positivos a, b, c formam uma progressão aritmética; então os 111

números pv , pv , pv também formam uma progressão aritmética.

b + ac + ac + b

12.

O símbolo n
i=1

ai é usado para representar a soma de todos os ai para valores do inteiro i

1

n

=

i(i + 1) n +1

nn
i=1 i=1

desde 1 até n; isto é

a1 +a2 +a3 + ¢¢· +an¡1 +an.

Mostre que:

=

ai

n
i=1 x2 1

14.

Mostre a desigualdade
¸
1+ x4 2 2

15.

Usando o fato que x2 + xy + y2 = 0, mostre que a suposição x2 + xy + y< 0 leva a uma contradição.

13.

Calcular a soma S = ai sendo ai = k uma constante.

Christian Quintana Pinedo

16.

Uma pirâmide hexagonal regular, com a aresta da base 9 cm e aresta lateral 15 cm, foi seccionada por dois planos paralelos à sua base que dividiram sua altura em três partes iguais.

Mostre que a parte da pirâmide, compreendida entre esses planos, tem volume, v

126 3 em cm3 .

17.

No jogo Lotomania, promovido pela CEF, o apostador deve marcar 50 números em uma cartela com 100 números (de 00 a 99).

Para receber algum prêmio o apostador deve acertar no mínimo 16 dos 20 números sorteados.

Leia a seguir as afirmações sobre esse jogo:

.

50 .

i) Cada cartela jogada corresponde a grupos com 16 números.

34

.

50 .

ii) Cada cartela jogada corresponde a grupos com 20 números.

20 iii) O apostador tem mais chances de acertar 20 números do que 16.

Quais das afirmações anteriores são corretas?

18.

Uma indústria de cosméticos deseja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm.

A embalagem deverá ter formato cilíndrico de forma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a Figura (1.6) (vista superior da embalagem aberta).

Figura 1.6:

Mostre que a medida do raio e a altura da embalagem, em cm, deverão ser de, aproximada

v

mente:

6, 92 e 6 respectivamente(.

Sugestão:

3=1, 73)

19.

Verifique, que o maior número de diagonais de um polígono convexo de n lados é:

Nd = n(n + 3) .

n .

N, n> 2.

2

20.

Mostre que se un número primo p não divide a a, antão (p, a)=1.

21.

Prove que se m é um inteiro não negativo, então m+1

1m +2m +3m + ¢¢· (n - 1)m + n m = n ;n = 1

22.

Mostre por indução que para qualquer inteiro k> 1 e n .

N:

k+1

n

1.

= 1+2k +3k + ¢¢· +(n - 2)k +(n - 1)k (k + 1)

Cálculo Diferencial em R

k¡1

- 1

k

111¡¡¡1+2+3+(1)¸¡k· n

k

k

n

k

2.

+
· + n
·

1 - 1

k

23.

Mostre por indução o seguinte:

1.

A desigualdade de Cauchy :

.

n!2 .

n!.

n.

2 b2

.

aibi = .

ai
· .

i i=1 i=1 i=1

2(n+1)

1 - q

2.

(1 + q)(1 + q2)(1 + q4) ¢¢· (1 + q2(n¡1))(1 + q2n)= 1 - q

24.

Descubra o erro no seguinte raciocínio por indução:

Seja P (n):

Se a e b são inteiros não negativos tais que a + b = n .

a = b.

Observe que P (0) é verdadeira.

Sejam a e b inteiros tais que a + b = h +1, defina c = a - 1 e d = b - 1, então c + d = a + b - 2 = h +1 - 2 = h.

A verdade de P (h) implica que a = b; isto é P (h + 1) é verdadeira.

Portanto P (n) é verdadeira para todo n = 0;n .

N.

·1¸·1¸2
·1¸3
·1
¸n (n + 1)n

25.

Mostre que:

1+ .

1+ .

1+ ¢¢· 1+ = .

n .

N+ .

12 3 nn!

26.

Se a, b e n são inteiros positivos, mostre o seguinte:

Ãa!Ãb!Ãa!.

b !.

a !Ãb!Ãa!Ãb!Ãa + b.

1.

+ + ¢¢· + += 0 n 1 n - 1 n - 11 n 0 n

Ãn!2 Ãn!2 Ãn!2 .

n !2 Ãn!2 Ã2n.

2.

+ ++ ¢¢· + += 012 n - 1 nn

27.

Seja r 61.=

n n¡1

·1 - r¸

1.

Deduzir que, a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ¢¢· + ar= a 1 - r

2.

Mostre por indução sobre n .

N;n = 1 que:

n

n¡1
·1 - r.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ¢¢· + ar = a

1 - r

28.

Mostre que, para qualquer x> 0 e para todo número natural n-par, a seguinte desigualdade é verdadeira:

1 11

n¡2 + x n¡4 + ¢

x n + x ¢· +++ = n +1

xn¡4 xn¡2 xn

29.

Mostre que todo número natural podemos escrever como o produto de números primos.

Christian Quintana Pinedo

30.

A seqüência de Fibonacci define-se como segue:

a1 =1;a2 =1;an = an¡1 + an¡2 para n = 3.

Mostre por indução que:

pp

³1+ 5
´n - ³1- 5
´n 22

an = v

5

31.

Mostre que, se a1;a2;a3, ¢¢· ;an são números reais tais que | a1 j= 1 e | an - an¡1 j= 1, então | an j= 1.

32.

Mostre que, para todo inteiro positivo n e para p> 0 número real a seguinte desigualdade é válida:

n(n + 1)

2

(1 + p)n = 1+ np + p

2

nn

33.

Mostre que:

| .

ai j= .

| ai j
i=1 i=1

34.

Prove que:

(1 - x)[(1 + x)(1 + x2)(1 + x4) ¢¢· (1 + x2n)] = 1 - x2(n+1) para qualquer inteiro x, e todo n = 0.